Question

5．已知9^x+4^y=1，求3^x-1+2^2y-1的最大值．

Answer 1

分析 根據(jù)條件得出4^y=1-（3^x）²，運用指數(shù)冪得出m=3^x-1+2^2y-1=$\frac{1}{3}$×3^x+$\frac{1}{2}×$4^x=$\frac{1}{3}×{3}^{x}$$+\frac{1}{2}×$（1-（3^x）²）=-$\frac{1}{2}×$（3^x）²$+\frac{1}{3}×{3}^{x}$$+\frac{1}{2}$，整體轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解即可．

解答 解：∵9^x+4^y=1，
∴4^y=1-（3^x）²，
∴m=3^x-1+2^2y-1=$\frac{1}{3}$×3^x+$\frac{1}{2}×$4^x=$\frac{1}{3}×{3}^{x}$$+\frac{1}{2}×$（1-（3^x）²）=-$\frac{1}{2}×$（3^x）²$+\frac{1}{3}×{3}^{x}$$+\frac{1}{2}$
設(shè)t=3^x，
∴m=$-\frac{1}{2}{t}^{2}$$+\frac{1}{3}t$$+\frac{1}{2}$，
當(dāng)t=$\frac{1}{3}$時，m最大值為：$-\frac{1}{2}×\frac{1}{9}$$+\frac{1}{9}$$+\frac{1}{2}$=$\frac{10}{18}$=$\frac{5}{9}$

點評 本題考查了運用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化求解代數(shù)式的范圍問題，屬于中檔題，關(guān)鍵是指數(shù)冪的化簡運算．