Question

20．已知實(shí)數(shù)x，y滿足$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，求x²+y²-x的最大值與最小值．

Answer 1

分析 通過(guò)變形可知x²+y²-x=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+y²-$\frac{1}{4}$，進(jìn)而問(wèn)題即求橢圓上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q（$\frac{1}{2}$，0）的距離的最值，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵x²+y²-x=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+y²-$\frac{1}{4}$，
∴問(wèn)題即求橢圓上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q（$\frac{1}{2}$，0）的距離的最值，
設(shè)以點(diǎn)Q為圓心的圓的方程為：$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+y²=d，
與橢圓方程聯(lián)立消去y得：x²-2x+$\frac{9}{2}$-2d=0，
令△=（-2）²-4（$\frac{9}{2}$-2d）=0，解得：d=$\frac{7}{4}$，
∴x²+y²-x的最小值為$\sqrt{\frac{7}{4}}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}-\frac{1}{4}$，
當(dāng)點(diǎn)P為橢圓左端點(diǎn)時(shí)取最大值為$\sqrt{\frac{1}{2}-（-2）}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}-\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．