Question

13．設(shè)進(jìn)入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5，購買乙種商品的概率為0.6，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨(dú)立，各顧客之間購買商品也是相互獨(dú)立的．
（I） 求進(jìn)入商場的1位顧客購買甲，乙兩種商品中的一種的概率；
（II）求進(jìn)入商場的1位顧客至少購買甲，乙兩種商品中的一種概率；
（III）用ξ表示進(jìn)入商場的3位顧客中至少購買甲，乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求ξ的分布列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記A表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買甲種商品，B表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買乙種商品，C表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，D表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種．C=A•$\overline{B}$+$\overline{A}$•B．由此能求出進(jìn)入商場的1位顧客購買甲，乙兩種商品中的一種的概率．
（Ⅱ）$\overline{D}$=$\overline{A}$•$\overline{B}$，由此利用對立事件概率計(jì)算公式能求出進(jìn)入商場的1位顧客至少購買甲，乙兩種商品中的一種概率P（D）．
（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），由此能求出ξ的分布列．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）記A表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買甲種商品，
B表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買乙種商品，C表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，
D表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種．
C=A•$\overline{B}$+$\overline{A}$•B．
進(jìn)入商場的1位顧客購買甲，乙兩種商品中的一種的概率：
P（C）=P（A•$\overline{B}$+$\overline{A}$•B）=P（A•$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$•B）=P（A）•P（$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$）•P（B）=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5…（4分）
（Ⅱ）$\overline{D}$=$\overline{A}$•$\overline{B}$，
P（$\overline{D}$）=P（$\overline{A}$•$\overline{B}$）=P（$\overline{A}$）•P（$\overline{B}$）=0.5×0.4=0.2，
進(jìn)入商場的1位顧客至少購買甲，乙兩種商品中的一種概率P（D）=1-P（$\overline{D}$）=0.8…（8分）
（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），
P（ξ=0）=0.2³=0.008，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}$×0.8×0.2²=0.096，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}$×0.8²×0.2=0.384，
P（ξ=3）=0.8³=0.512．
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	0.008	0.096	0.384	0.512

…（12分）

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．