Question

8．已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為a，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則此棱錐的高為a；側(cè)棱長為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a；側(cè)面與底面所成的角arctan2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)，分別求出三棱錐的高以及側(cè)棱和底面所成的角，以及側(cè)面和底面所成角的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面ABC所成的角都是60°，
∴過S作SO⊥平面ABC交于點O，延長AO交BC于D．
∴點O是△ABC的中心，
∴AD是等邊△ABC的一條高，
連接SD，
則∠SAO是SA與底面ABC所成的角，∠SDO是側(cè)面SBC與底面ABC所成的角．
則∠SAO=60°，
∵正三棱錐S-ABC的底面邊長為a，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴AO=$\frac{2}{3}AD$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．
∵∠SAO=60°，
∴SA=2AO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，tan60°=$\frac{SO}{AO}$=$\sqrt{3}$，即SO=$\sqrt{3}$AO=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=a．
OD=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
則tan∠SDO=$\frac{SO}{OD}$=$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{6}a}$=2$\sqrt{3}$，
即∠SDO=arctan2$\sqrt{3}$，
故答案為：a，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，arctan2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正三棱錐的性質(zhì)、線面角、線面垂直的判定與性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，利用空間角的定義轉(zhuǎn)化為平面角是解決本題的關(guān)鍵．．