Question

【題目】某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數學成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中前三段的頻率成等比數列．
（1）求圖中實數a的值；
（2）若該校高一年級共有學生640人，試估計該校高一年級期中考試數學成績不低于80分的人數；
（3）若從樣本中數學成績在[40，50）與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，記這兩名學生成績在[90，100]內的人數為X，求隨機變量X的分布列和期望值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵頻率分布直方圖前三段的頻率成等比數列，

∴由頻率分布直方圖，得：（10b）2=0.05×0.20，解得b=0.010，

∴a=0.1﹣0.005﹣0.010﹣0.020﹣0.025﹣0.010=0.030．

（2）解：成績不低于80分的人數估計為：640×（0.025+0.010）×10=224．
（3）解：樣本中成績在[40，50）內的人數為40×0.005×10=2，

成績在[90，100]內的人數為40×0.010×10=4，

X的所有可能取值為0，1，2，

P（X=0）= = ，

P（X=1）= = ，

P（X=2）= = ，

∴X的分布列為：

X	0	1	2
P

∴E（X）= = ．

【解析】（1）由等比數列性質及頻率分布直方圖，列出方程，能求出a．（2）利用頻率分布直方圖能求出成績不低于80分的人數．（3）樣本中成績在[40，50）內的人數為2，成績在[90，100]內的人數為4，X的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
【考點精析】關于本題考查的離散型隨機變量及其分布列，需要了解在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能得出正確答案．