Question

【題目】如圖所示，在長方體中，為的中點，連接和.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的正切值。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）先由BC⊥平面D1DCC1BC⊥DE．再利用△DD1E為等腰直角三角形∠D1ED=45°以及∠C1EC=45°可得DE⊥EC，合在一起可得平面EDB⊥平面EBC；
（2）先過E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于OEO⊥面ABCD；再O在平面DBC中作OF⊥DB于F，利用三垂線定理極其逆定理可得EF⊥BD．所以∠EFO為二面角E-DB-C的平面角．再利用平面幾何知識求出∠EFO的正切值即可；

（1）證明：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，
AB=2，BB1=BC=1，E為D1C1的中點．
∴△DD1E為等腰直角三角形，∠D1ED=45°．同理∠C1EC=45°．
∴∠DEC=90°，即DE⊥EC．
在長方體ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE平面D1DCC1，
∴BC⊥DE．又EC∩BC=C，∴DE⊥平面EBC．
∵DE平面DEB，∵平面DEB⊥平面EBC．
（2）如圖，過E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O．

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，∵面ABCD⊥面D1DCC1，∴EO⊥面ABCD．
過O在平面DBC中作OF⊥DB于F，
連接EF∴EF⊥BD．
∠EFO為二面角E-DB-C的平面角．
利用平面幾何知識可得OF＝ OE＝1，tan∠EFO＝,

所以二面角E-DB-C的正切值為.