Question

2．已知函數(shù)f（x）=cos（$\frac{4π}{3}$-2x）+2cos²x
（1）求f（x）的最大值，并寫出使f（x）取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的集合．
（2）若把函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換得g（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）+1，由2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+π，可得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 （本小題滿分10分）
解：（1）f（x）=cos（$\frac{4π}{3}$-2x）+2cos²x
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1
∵x∈R，
∴f（x）_max=2
當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=2kπ，即x=kπ-$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取得最大值，由此可得使f（x）取得最大的x的集合是：{x|x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z}
（2）根據(jù)平移變換，得
g（x）=f（x-$\frac{π}{4}$）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）+1
由2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+π，得 kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，
所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．