Question

10．已知點(diǎn)M（x，5）、N（-2，y），點(diǎn)P（1，1）在直線MN上，且$|{\overrightarrow{MP}}|=2|{\overrightarrow{PN}}|$，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 分類得出由$|\overrightarrow{MP}|=2|\overrightarrow{PN}|可知，\overrightarrow{MP}=±2\overrightarrow{PN}$．
（1）$當(dāng)\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{PN}時(shí)，λ=2$，運(yùn)用坐標(biāo)相等得出$\frac{x+2×（-2）}{1+2}=1，\frac{5+2y}{1+2}=1$，求解即可
（2）$當(dāng)\overrightarrow{MP}=-2\overrightarrow{PN}時(shí)，λ=-2$，運(yùn)用坐標(biāo)相等得出$\frac{x+（-2）×（-2）}{1+（-2）}=1，\frac{5+（-2）y}{1+（-2）}=1$，求解即可
分兩類解決．

解答 解：由$|\overrightarrow{MP}|=2|\overrightarrow{PN}|可知，\overrightarrow{MP}=±2\overrightarrow{PN}$．
設(shè)點(diǎn)P分$\overrightarrow{MN}$所成的比為λ．
（1）$當(dāng)\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{PN}時(shí)，λ=2$
∴$\frac{x+2×（-2）}{1+2}=1，\frac{5+2y}{1+2}=1$，
解得x=7，y=-1，
故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為M（7，5），N（-2，-1）．
（2）$當(dāng)\overrightarrow{MP}=-2\overrightarrow{PN}時(shí)，λ=-2$
∴$\frac{x+（-2）×（-2）}{1+（-2）}=1，\frac{5+（-2）y}{1+（-2）}=1$，
解得x=-5，y=3，
故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為M（-5，5），N（-2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了運(yùn)用向量的坐標(biāo)問(wèn)題求解解析幾何中的點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵時(shí)分類得出共線的向量相等問(wèn)題．