Question

敘述橢圓的定義，并推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：敘述橢圓的定義，恰當(dāng)?shù)亟�立平面直線(xiàn)坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)間距離公式能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：橢圓定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為定值（定值大于兩定點(diǎn)的距離）的點(diǎn)的集合（或軌跡）為橢圓，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂稱(chēng)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．
設(shè)|F₁F₂|=2c（c＞0），定值為2a（a＞0），且a＞c＞0，
取F₁F₂所在直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段F₁F₂的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，
建立直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），則F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由已知條件，得|MF₁|+|MF₂|=2a，
∴

(x+c)2+y2

+

(x-c)2+y2

=2a，
化簡(jiǎn)，整理得

x2

a2

+

y2

a2-c2

=1，
∵a＞c＞0，∴令a²-c²=b²，（b＞0），
則有

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．
∴焦點(diǎn)在x軸的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．
如果取F₁F₂所在的直線(xiàn)為y軸，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓定義的敘述和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式和分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．