Question

【題目】已知函數(shù)f（x），g（x）=f（x）-a，

（1）討論函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并寫出相應(yīng)的實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）當(dāng)函數(shù)g（x）有四個(gè)零點(diǎn)分別為x1，x2，x3，x4時(shí)，求x1+x2+x3+x4的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）-2＜x1+x2+x3+x4≤.

【解析】

（1）利用兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，來判定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）結(jié)合函數(shù)圖像的特點(diǎn)，得出零點(diǎn)的特征及范圍.

（1）根據(jù)題意，g（x）=f（x）-a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即y=f（x）與直線y=a交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

函數(shù)f（x）=的圖象如圖：

①當(dāng)a＜-3時(shí)，y=f（x）與直線y=a沒有交點(diǎn)，則函數(shù)g（x）沒有零點(diǎn)；

②當(dāng)a=-3時(shí)，y=f（x）與直線y=a有1個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)g（x）有1個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)-3＜a＜0時(shí)，y=f（x）與直線y=a有2個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)g（x）有2個(gè)零點(diǎn)；

④當(dāng)a=0或a＞1時(shí)，y=f（x）與直線y=a有3個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)g（x）有3個(gè)零點(diǎn)；

⑤當(dāng)0＜a≤1時(shí)，y=f（x）與直線y=a有4個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)g（x）有4個(gè)零點(diǎn)；

（2）由（1）的結(jié)論，函數(shù)g（x）有四個(gè)零點(diǎn)分別為x1，x2，x3，x4時(shí)，必有0＜a≤1，

設(shè)x1＜x2＜x3＜x4，則有x1+x2，|lgx3|=|lgx4|，

若|lgx3|=|lgx4|，則x3x4=1，

又由1＜x4≤10，則.

令，易知該函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以 即2＜x3+x4≤，

故-2＜x1+x2+x3+x4≤．