Question

14．如圖：已知扇形MON所在圓半徑為1，∠MON=$\frac{π}{2}$，扇形內(nèi)接矩形ABOC，設∠AON=θ．
（1）將矩形面積S表示為θ的函數(shù)，并指出θ的取值范圍；
（2）當θ取何值時，矩形面積S最大，并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由圖形得到矩形的長寬，得到矩形的面積；
（2）利用（1）的結(jié)論集合正弦函數(shù)的有界性求最大值．

解答 解：（1）由條件OA=1，∠AON=θ．
∴OC=cosθ，AC=sinθ…2分
∴S=sinθcosθ=$\frac{1}{2}$sin2θ     …4分
其中0＜$θ＜\frac{π}{2}$               …6分
（2）∵$0＜θ＜\frac{π}{2}$，∴0＜2θ＜π…8分
故當$2θ=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{4}$時，…10分
${S}_{max}=\frac{1}{2}$．…12分．

點評 本題考查了三角函數(shù)的應用；用到了正弦函數(shù)的有界性；比較基礎(chǔ)．