Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-2b
（1）a=b＞0時，解關于x的不等式f（x）＜0；
（2）當a=1時，若對任意的x∈（-∞，2），不等式f（x）≥1恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）若|f（-1）|≤1，|f（1）|≤3，求|a|+|b+2|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=b＞0時，不等式可化為x²+x-2＜0，解之可得；
（2）原不等式化為$b≤\frac{{{x^2}-1}}{2-x}，x∈（-∞，2）$恒成立，由基本不等式求右邊式子的最小值可得；
（3）可得-1≤a-3b≤1，-3≤a-b≤3，進而可得a∈[-5，5]，b∈[-2，2]，分類討論去絕對值可得．

解答 解：（1）當a=b＞0時，關于x的不等式f（x）＜0可化為bx²+bx-2b＜0，
即b（x²+x-2）＜0，除以b可得x²+x-2＜0，解得-2＜x＜1
∴f（x）＜0的解集為（-2，1）；     
（2）當a=1時原不等式f（x）≥1可化為b（x-2）≥1-x²，
∵x∈（-∞，2），∴原不等式化為$b≤\frac{{{x^2}-1}}{2-x}，x∈（-∞，2）$恒成立，
由基本不等式可得$\frac{{{x^2}-1}}{2-x}=2-x+\frac{3}{2-x}-4≥2\sqrt{3}-4$，
當且僅當2-x=$\frac{3}{2-x}$即x=2-$\sqrt{3}$時取等號，
∴$b≤2\sqrt{3}-4$
（3）由題意題目條件化為-1≤a-3b≤1，-3≤a-b≤3，
作圖可知a∈[-5，5]，b∈[-2，2]，去掉一個絕對值
z=|a|+b+2，對a討論再去掉一個絕對值．
當-5≤a≤0時，由線性規(guī)劃得$\frac{5}{3}≤z≤5$；
當0＜a≤5時，$\frac{5}{3}＜z≤9$，
綜上可得$\frac{5}{3}≤z≤9$．

點評 本題考查簡單選項規(guī)劃，涉及基本不等式求最值和恒成立問題，屬中檔題．