Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長和底面邊長均為2．
（1）求二面角B-AC₁-C的大��；
（2）求點C到平面ABC₁的距離．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件，可先在圖中作出二面角的平面角，如圖作BE⊥AC于E，由條件，E為AC的中點且BE⊥面AC₁C，過點E作EF⊥AC₁于F，連接BF，可由線面角的定義判斷出∠EFB為二面角B-AC₁-C的平面角，然后在直角三角形EFB中求角即可得到答案．
（2）由題設(shè)條件，可在圖中構(gòu)造出過C且垂直于平面ABC₁的平面，將點到面的距離轉(zhuǎn)化成點到線的距離求解，如圖作CN⊥AB于N，連接C₁N，作CM⊥C₁N于M，可證得CM⊥平面ABC₁，即CM即為所求點C到平面ABC₁的距離，再由等面積法求出CM的長度即可得到所求的點到面的距離．

解答：解：（1）作BE⊥AC于E，由條件，E為AC的中點且BE⊥面AC₁C，過點E作EF⊥AC₁于F，連接BF，
∵BE⊥面AC₁C，AC₁?面AC₁C，
∴BE⊥AC₁，則∠EFB為二面角B-AC₁-C的平面角．
根據(jù)條件，可得BE=

3

，EF=

2

2

，
∴tan∠EFB=

6

，
∴二面角B-AC₁-C的大小為arctan

6

．
（2）如圖，作CN⊥AB于N，連接C₁N，
∵AB⊥CC₁，C₁N∩CN=N，
∴AB⊥面NCC₁，從而得平面ABC₁⊥平面CC₁N，
作CM⊥C₁N于M，則CM⊥平面ABC₁，故CM即為所求點C到平面ABC₁的距離
CM=

2× 3

7

=

2 21

7

，即點B₁到平面ABC₁的距離為

2 21

7

．

點評：本題考查點到面距離的求法與二面角的求法，熟練掌握二面角平面角的定義作出二面角的平面角及根據(jù)圖形幾何特征作出點到面的距離是解本題的關(guān)鍵，考查了數(shù)形結(jié)合的與轉(zhuǎn)化的思想，是立體幾何題中常規(guī)題，難度較高．