【題目】已知,為常數,函數.
(1)當時,求關于的不等式的解集;
(2)當時,若函數在上存在零點,求實數的取值范圍;
(3)對于給定的,且,,證明:關于的方程在區(qū)間內有一個實數根.
【答案】(1)當時,不等式的解集為或;當時,不等式的解集為;當時,不等式的解集為或;(2);(3)證明見解析.
【解析】
(1)當時,,分,,三種情況討論,求不等式的解集;
(2)當時,,其圖象的對稱軸為.分,,三種情況討論,即求實數的取值范圍;
(3)設.由,得.對于給定的,且,,得在區(qū)間上單調,故在區(qū)間上有且只有一個零點,即方程在區(qū)間內有一個實數根.
(1)當時,.
當,即時,由得或,
不等式的解集為或.
當,即時,恒成立,不等式的解集為.
當,即時,由得或,
不等式的解集為或.
綜上,當時,不等式的解集為或;
當時,不等式的解集為;
當時,不等式的解集為或.
(2)當時,,其圖象的對稱軸為.
當,即時,在上單調遞增,
在上存在零點,,即得.
.
當,即時,在上存在零點,
或或或,
解得或或或或.
.
當,即時,在上單調遞減,
在上存在零點,,即得.
.
綜上,.
實數的取值范圍為.
(3)設.
當給定時,為定值.
,
.
又對于給定的,且,,
在區(qū)間上單調,即在區(qū)間上單調,
在區(qū)間上有且只有一個零點,
即方程在區(qū)間內有一個實數根.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知三棱柱中,三個側面均為矩形,底面為等腰直角三角形, ,點為棱的中點,點在棱上運動.
(1)求證 ;
(2)當點運動到某一位置時,恰好使二面角的平面角的余弦值為,求點到平面的距離;
(3)在(2)的條件下,試確定線段上是否存在一點,使得平面?若存在,確定其位置;若不存在,說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數.
(Ⅰ)求函數的單調區(qū)間;
(Ⅱ)試探究函數在定義域內是否存在零點,若存在,請指出有幾個零點;若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)若,且在上恒成立,求實數的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數的部分圖象如圖所示.
(1) 求函數的解析式;
(2) 如何由函數的通過適當圖象的變換得到函數的圖象, 寫出變換過程;
(3) 若,求的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知正項數列的前項和為,且.數列滿足,為數列的前項和.
(1)求數列的通項公式;
(2)求數列的前項和;
(3)若對任意的,不等式恒成立,求實數的取值范圍;
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】牡丹江一中2019年將實行新課程改革,即除語、數、外三科為必考科目外,還要在理、化、生、史、地、政六科中選擇三科作為選考科目.已知某生的高考志愿為北京大學環(huán)境科學專業(yè),按照17年北大高考招生選考科目要求物、化必選,為該生安排課表(上午四節(jié)、下午四節(jié),上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),現該生某天最后兩節(jié)為自習課,且數學不排下午第一節(jié),語文、外語不相鄰,則該生該天課表有( )種.
A. 444B. 1776C. 1440D. 1560
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某早餐店對一款新口味的酸奶進行了一段時間試銷,定價為5元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應,每天的銷售數據按照[15,25],(25,35],(35,45],(45,55]分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計概率.試銷結束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發(fā):大箱每箱50瓶,批發(fā)成本85元;小箱每箱30瓶,批發(fā)成本65元.由于酸奶保質期短,當天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,決定每天僅批發(fā)一箱(計算時每個分組取中間值作為代表,比如銷量為(45,55]時看作銷量為50瓶).
(1)設早餐店批發(fā)一大箱時,當天這款酸奶的利潤為隨機變量X,批發(fā)一小箱時,當天這款酸奶的利潤為隨機變量Y,求X和Y的分布列;
(2)從早餐店的收益角度和利用所學的知識作為決策依據,該早餐店應每天批發(fā)一大箱還是一小箱?(必須作出一種合理的選擇)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CD∥AB, AB⊥BC,AB=BC=2CD=2,側棱AA1⊥平面ABCD.且點M是AB1的中點
(1)證明:CM∥平面ADD1A1;
(2)求點M到平面ADD1A1的距離.
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