Question

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)試探究函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在零點，若存在，請指出有幾個零點；若不存在，請說明理由；

(Ⅲ)若,且在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.（2）見解析（3）

【解析】試題分析：(Ⅰ) 求出，分兩種種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象可得：當時，函數(shù)有兩個不同的零點；當時，函數(shù)有且僅有一個零點；當時，函數(shù)無零點；(Ⅲ)分兩種情況討論，當時，不合題意，當時，由(Ⅰ)知，函數(shù)在單調(diào)遞增，則在恒成立，

，從而可得結(jié)果.

試題解析：(Ⅰ)由所以,

①當時，則有,函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；

②當時， ,

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,

綜合①②的當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.

(Ⅱ)函數(shù)定義域為，

又,

令,

則,

所以,

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以.

由(Ⅰ)知當時，對,有,

即,

所以當且趨向0時， 趨向，隨著的增長， 的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于的增長速度，而的增長速度則會越來越慢，故當且趨向時， 趨向，得到函數(shù)的草圖如圖所示，

①當時，函數(shù)有兩個不同的零點；

②當時，函數(shù)有且僅有一個零點；

③當時，函數(shù)無零點.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知當時， ,故對,

先分析法證明： ,

要證，

只需證,

即證,

構(gòu)造函數(shù)),

所以,

故函數(shù)在單調(diào)遞增， ,

則成立，

①當時，由(Ⅰ)知，函數(shù)在單調(diào)遞增，則在恒成立，

②當時，由(Ⅰ)知，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

故當時， ,所以,則不滿足題意，

綜合①②得，滿足題意的實數(shù)的取值范圍.