Question

14．已知有窮數列{a_n}共有m項（m≥3，m∈N^*），對于每個i（i=1，2，3，…，m）均有a_i∈{1，2，3}，且首項a₁與末項a_m不相等，同時任意相鄰兩項不相等．記符合上述條件的所有數列{a_n}的個數為f（m）．
（1）寫出f（3），f（4）的值；
（2）寫出f（m）的表達式，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：（1）f（3）=3×2×1=6，f（4）=3×2×2+3×3×1×1=18種，
（2）猜想f（m）=2^m+2•（-1）^m，（*），利用數學歸納法即可證明．

解答 解：（1）f（3）=3×2×1=6，
f（4）=3×2×2+3×2×1×1=18種，
（2）f（m）=2^m+2•（-1）^m，（*）
理由如下：當m=3時，f（3）=6，符合（*）式，
①假設當m=k時，（*）成立，即f（k）=2^k+2•（-1）^k，
那么m=k+1時，
因為a₁有3種取法，a₂有2種取法，…，a_k有2種取法，a_k+1若僅與a_k不同，則有2種取法，
一種與a₁數不同，符合要求，有f（k+1）個，
一種與a₁數相同，不符合要求，當相當與k項有窮數列的個數，有f（k）個，則有3×2^k=f（k+1）+f（k），
∴a_k+1=-a_k+3×2^k=-2^k-2（-1）^k+3×2^k=2^k+1+2（-1）^k+1，
即n=k+1時，（*）也成立，
由①②可知，（*）成立．

點評 本題考查歸納推理和數列的問題，以及數學歸納法的問題，培養(yǎng)了學生的歸納推理的能力，屬于難題．