Question

9．某同學用“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	x1	$\frac{π}{3}$	x2	$\frac{7π}{3}$	x3
y	0	$\sqrt{3}$	0	-$\sqrt{3}$	0

（Ⅰ）根據(jù)如表求出函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f（A）=$\sqrt{3}$，a=3，S為△ABC的面積，求S+3$\sqrt{3}$cosBcosC的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)列關(guān)于ω、φ的二元一次方程組，求得A、ω、φ的值，從而可求函數(shù)解析式．
（Ⅱ）由f（A）=$\sqrt{3}$及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求A，再由正弦定理可得外接圓的半徑，再由三角形的面積公式和兩角差的余弦公式，結(jié)合余弦函數(shù)的值域，即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，得A=$\sqrt{3}$，$\frac{π}{3}ω+$φ=$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{3}ω$+φ=$\frac{3π}{2}$，解得：ω=$\frac{1}{2}$，φ=$\frac{π}{3}$，
函數(shù)表達式為f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）∵f（A）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，解得：sin（$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{3}$）=1，
∵A∈（0，π），$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），可得$\frac{1}{2}$A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，解得：A=$\frac{π}{3}$．
設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，則2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
解得R=$\sqrt{3}$，
∴S+3$\sqrt{3}$cosBcosC=$\frac{1}{2}$bcsinA+3$\sqrt{3}$cosBcosC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc+3$\sqrt{3}$cosBcosC
=3$\sqrt{3}$sinBsinC+3$\sqrt{3}$cosBcosC=3$\sqrt{3}$cos（B-C），
故S+3$\sqrt{3}$cosBcosC的最大值為3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解函數(shù)解析式，考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面積公式的運用，同時考查兩角和差的余弦公式和余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．