Question

3．已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞0，其n前項(xiàng)和為S_n，若a₁=1，4a₃=a₂a₄．
（Ⅰ）求公比q和a₅的值；
（Ⅱ）求證：$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$＜2．

Answer 1

分析 （I）數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列且q＞0，且a₁=1，4a₃=a₂a₄．可得4q²=q⁴，解出即可得出．
（II）a_n=2^n-1，S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1，作差$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$-2化簡(jiǎn)即可得出．

解答 （I）解：∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列且q＞0，且a₁=1，4a₃=a₂a₄．
∴4q²=q⁴，
解得q=2．
∴a₅=q⁴=16．
（II）證明：a_n=2^n-1，S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1，
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$-2=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$-2=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-2＜0，
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的性質(zhì)及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．