Question

20．若函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），且f（α）=-2f，（β）=0，|α-β|的最小值為$\frac{3π}{4}$，求：
（1）正數(shù)ω的值；
（2）函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時(shí)x的集合；
（3）函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)、正弦函數(shù)的周期性，求得ω的值．
（2）根據(jù)f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$），利用正弦函數(shù)的最大值求得函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時(shí)x的集合．
（3）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的減區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），且f（α）=-2，f（β）=0，|α-β|的最小值為$\frac{3π}{4}$，可得函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=4|α-β|_min=3π，求得ω=$\frac{2}{3}$．
（2）由以上可得f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$），故當(dāng) $\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x∈{x|x=$\frac{π}{4}$+3kπ，k∈Z}時(shí)，
函數(shù)f（x）取得最大值為2，取最大值時(shí)x的集合為{x|x=$\frac{π}{4}$+3kπ，k∈Z}．
（3）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得 3kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤3kπ+$\frac{7π}{4}$，
故函數(shù)f（x）的減區(qū)間為[3kπ+$\frac{π}{4}$，3kπ+$\frac{7π}{4}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的零點(diǎn)、正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的最大值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．