Question

10．如圖1，一條寬為1km的兩平行河岸有村莊A和發(fā)電站C，村莊B與A、C的直線距離都是2km，BC與河岸垂直，垂足為D．現(xiàn)要鋪設(shè)電纜，從發(fā)電站C向村莊A，B供電，已知鋪設(shè)地下電纜、水下電纜纜、水下電纜的費(fèi)用分別為2萬元/km、4萬元/km．
（Ⅰ）如果村莊A與B之間原來鋪設(shè)有舊電纜（圖1中線段AB所示），只需對其進(jìn)行改造即可使用，已知舊電纜的改造費(fèi)用是0.5萬元/km，現(xiàn)決定將線段AB上找得一點(diǎn)F建一配電站，分別向村莊A，B供電，使得在完整利用A，B之間舊電纜進(jìn)行改造的前提下，并要求新鋪設(shè)的水下電纜長度最短，試求該方案總施工費(fèi)用的最小值，并確定點(diǎn)F的位置．
（Ⅱ）如圖2，點(diǎn)E在線段AD上，且鋪設(shè)電纜的線路為CE、EA、EB，若∠DCE=θ（0≤θ≤$\frac{π}{3}$），試用θ表示出總施工費(fèi)用y（萬元）的解析式，并求y的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過D作DF⊥AB于F，地下電纜的最短線路為DF，AB，CD，可得該方案總費(fèi)用；
（Ⅱ）CE=EB=$\frac{1}{cosθ}$，ED=tanθ，AE=$\sqrt{3}$-tanθ，可得y=$\frac{1}{cosθ}$×4+$\frac{1}{cosθ}$×2+（$\sqrt{3}$-tanθ）×2=2×$\frac{3-sinθ}{cosθ}$+2$\sqrt{3}$，利用導(dǎo)數(shù)的方法，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）過D作DF⊥AB于F，地下電纜的最短線路為DF，AB，CD
該方案總費(fèi)用為1×4+$\frac{\sqrt{3}}{2}×2$+2×0.5=5+$\sqrt{3}$（萬元）
（Ⅱ）CE=EB=$\frac{1}{cosθ}$，ED=tanθ，AE=$\sqrt{3}$-tanθ
則y=$\frac{1}{cosθ}$×4+$\frac{1}{cosθ}$×2+（$\sqrt{3}$-tanθ）×2=2×$\frac{3-sinθ}{cosθ}$+2$\sqrt{3}$
設(shè)g（θ）=$\frac{3-sinθ}{cosθ}$，則g′（θ）=$\frac{3sinθ-1}{co{s}^{2}θ}$
由g'（θ）=0得sinθ=$\frac{1}{3}$，∴g（θ）_min=2$\sqrt{2}$，
∴y_min=$4\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
此時ED=tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
因此施工總費(fèi)用的最小值為（$4\sqrt{2}+2\sqrt{3}$）萬元，其中ED=tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．