Question

【題目】如圖，分別過橢圓左、右焦點(diǎn)的動(dòng)直線相交于點(diǎn)，與橢圓分別交于與不同四點(diǎn)，直線的斜率滿足．已知當(dāng)與軸重合時(shí)，，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)并求出此定值；若不存在，說明理由．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），和.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)與軸重合時(shí)，垂直于軸，得,得,從而得橢圓的方程；（2）由題目分析如果存兩定點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，所以把坐標(biāo)化，可得點(diǎn)的軌跡是橢圓，從而求得定點(diǎn)和點(diǎn).

試題解析：當(dāng)與軸重合時(shí)，, 即,所以垂直于軸，得，，, 得,橢圓的方程為.

焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為, 當(dāng)直線或斜率不存在時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或;

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率分別為, 設(shè)由, 得：

, 所以:，, 則：

. 同理：, 因?yàn)?/span>

, 所以, 即, 由題意知, 所以

， 設(shè)，則，即，由當(dāng)直線或斜率不存在時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或也滿足此方程，所以點(diǎn)在橢圓上.存在點(diǎn)和點(diǎn)，使得為定值，定值為.

考點(diǎn)：圓錐曲線的定義，性質(zhì)，方程.

【方法點(diǎn)晴】本題是對(duì)圓錐曲線的綜合應(yīng)用進(jìn)行考查，第一問通過兩個(gè)特殊位置，得到基本量，，得,,從而得橢圓的方程，第二問由題目分析如果存兩定點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，本題的關(guān)鍵是從這個(gè)角度出發(fā)，把坐標(biāo)化，求得點(diǎn)的軌跡方程是橢圓，從而求得存在兩定點(diǎn)和點(diǎn).

【題型】解答題
【結(jié)束】
21

【題目】已知，，.

（Ⅰ）若，求的極值；

（Ⅱ）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，記，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極大值為，無(wú)極小值；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）先判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，然后可得當(dāng)時(shí)，有極大值，無(wú)極小值．（Ⅱ）不妨設(shè)，由題意可得，即，又由條件得，構(gòu)造，令，則，利用導(dǎo)數(shù)可得，故得，又，所以．

詳解：（Ⅰ），

，

由得，

且當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)，有極大值，且，無(wú)極小值．

（Ⅱ）函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，不妨設(shè)，

，．

，

即，

又，，

，

．

令，則

，

在上單調(diào)遞減，

故，

，

即，

又，

．