Question

15．已知在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知cosC+（cosA-sinA）cosB=0．
（1）求∠B的大��；
（2）若a+c=1，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）cosC+（cosA-sinA）cosB=0，可得-cos（A+B）+cosAcosB-sinAcosB=0，可化為tanB=1，即可得出．
（2）由a+c=1，利用基本不等式的性質(zhì)化為$ac≤\frac{1}{4}$．由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-$\sqrt{2}$ac=1-$（2+\sqrt{2}）$ac，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）cosC+（cosA-sinA）cosB=0，
∴-cos（A+B）+cosAcosB-sinAcosB=0，
化為sinAsinB-sinAcosB=0，
∵sinA≠0，
∴sinB-cosB=0，
∵cosB≠0，∴tanB=1，
∵B∈（0，π）．
解得B=$\frac{π}{4}$．
（2）∵a+c=1，
∴$1≥2\sqrt{ac}$，
化為$ac≤\frac{1}{4}$．
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-$\sqrt{2}$ac=1-$（2+\sqrt{2}）$ac≥$1-\frac{2+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴$b≥\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$．
又b＜a+c=1．
∴b的取值范圍是$[\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}，1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理、兩角和差的正弦公式、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的內(nèi)角和定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．