Question

10．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AA₁⊥平面ABC，D，E分別是CC₁，AB的中點．
（Ⅰ）求證：CE∥平面A₁BD；
（Ⅱ）若E到A₁B的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如圖所示，連接AB₁交A₁B于點F，則點F是A₁B的中點．利用三角形的中位線定理可得$EF\underset{∥}{=}CD$，利用平行四邊形的判定定理可得CE∥DF，再利用線面平行的判定定理即可證明CE∥平面A₁BD；
（II）E到A₁B的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，EB=1，可得sin∠EBA₁=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．tan∠EBA₁=2．可得AA₁，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×4$，即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：如圖所示，連接AB₁交A₁B于點F，則點F是A₁B的中點．
連接EF，DF．又點E是AB的中點，
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}A{A}_{1}$，又$CD\underset{∥}{=}\frac{1}{2}A{A}_{1}$，
∴$EF\underset{∥}{=}CD$，
∴四邊形CDFE是平行四邊形，
∴CE∥DF，
又EC?FD，F(xiàn)D?平面BDA₁，
∴CE∥平面A₁BD；
（Ⅱ）解：∵E到A₁B的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，EB=1，
∴sin∠EBA₁=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{1}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴tan∠EBA₁=2．
∴AA₁=ABtan∠EBA₁=2×2=4．
∵S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×4$=$\sqrt{3}$．
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=$4\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角形的中位線定理、平行四邊形的判定定理、線面平行的判定定理、正三棱柱的性質(zhì)與體積計算公式、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．