Question

6．已知函數(shù)f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+2x）+cos（$\frac{π}{3}$-2x）+2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$+2x）（x∈R），求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期．

Answer 1

分析 由條件利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=$\sqrt{19}$cos（2x-α），再利用余弦函數(shù)的最值以及余弦函數(shù)的周期性得出結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+2x）+cos（$\frac{π}{3}$-2x）+2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$+2x）
=cos$\frac{π}{3}$cos2x-sin$\frac{π}{3}$sin2x+cos$\frac{π}{3}$cos2x+sin$\frac{π}{3}$sin2x+2$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$cos2x+2$\sqrt{3}$cos$\frac{π}{3}$sin2x
=4cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=$\sqrt{19}$cos（2x-α），其中，cosα=$\frac{4}{\sqrt{19}}$，sinα=$\frac{\sqrt{3}}{19}$，
故函數(shù)f（x）的值域為[-$\sqrt{19}$，$\sqrt{19}$]，最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，余弦函數(shù)的最值以及余弦函數(shù)的周期性，屬于中檔題．