Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P在曲線xy=1（x＞0）上，點(diǎn)P在x軸上的射影為M．若點(diǎn)P在直線x-y=0的下方，則$\frac{O{P}^{2}}{OM-MP}$的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)P（t，$\frac{1}{t}$），將$\frac{O{P}^{2}}{OM-MP}$化成關(guān)于t的表達(dá)式，結(jié)合題意得t-$\frac{1}{t}$是正數(shù)，利用基本不等式可求出$\frac{O{P}^{2}}{OM-MP}$的最小值即可．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P（t，$\frac{1}{t}$），得OP²=t²+$\frac{1}{{t}^{2}}$，而OM=t，MP=$\frac{1}{t}$，
∴$\frac{O{P}^{2}}{OM-MP}$=$\frac{{t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}}{t-\frac{1}{t}}$=$\frac{{（t-\frac{1}{t}）}^{2}+2}{t-\frac{1}{t}}$=（t-$\frac{1}{t}$）+$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$，
∵點(diǎn)P在直線x-y=0的下方，且t＞0
∴t＞1，得t-$\frac{1}{t}$是正數(shù)，所以（t-$\frac{1}{t}$）+$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$≥2$\sqrt{2}$，
故答案為：$2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題通過(guò)曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求關(guān)于線段OP、OM、MP的分式的最小值，著重考查了曲線與方程、利用基本不等式求最值和簡(jiǎn)單的演繹推理等知識(shí)，屬于中檔題．