Question

3．已知定義在區(qū)間（-1，1）上的函數$f（x）=\frac{ax-b}{{{x^2}+1}}$是奇函數，且$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$，
（1）確定y=f（x）的解析式；
（2）判斷y=f（x）的單調性并用定義證明．

Answer 1

分析 （1）根據奇函數的性質，和函數值，即可求出函數的解析式；
（2）利用函數單調性的定義進行證明即可．

解答 解：（1）y=f（x）是奇函數，
∴f（0）=0，
∴b=0，
∵$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$，
∴a=1，
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
（2）設-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
又x₁²，+1＞0，x₂²+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴y=f（x）在（-1，1）上單調遞增．

點評 本題主要考查函數單調性的判斷以及奇函數的性質，利用函數單調性的定義是解決此類問題的基本方法．