Question

7．設(shè)M={x|x=a²-b²，a，b∈Z}．求證：
（1）1∈M；
（2）屬于M的兩個數(shù)，其積仍屬于M；
（3）-2∉M．

Answer 1

分析 （1）找出平方差等于1的兩個整數(shù)a，b即可；
（2）設(shè)x，y∈M，將xy表示成兩個整數(shù)的平方差即可；
（3）假設(shè)-2∈M，使用反證法推出與已知相矛盾的結(jié)論即可，

解答 解：（1）令a=1，b=0，則a²-b²=1，
∴1∈M．
（2）設(shè)x，y∈M，則x=a²-b²，y=c²-d²，其中a，b，c，d∈Z．
∴xy=（a²-b²）（c²-d²）=（a²c²+b²d²）-（a²d²+b²c²）=（a²c²+b²d²+2abcd）-（a²d²+b²c²+2abcd）=（ac+bd）²-（ad+bc）²．
∵a，b，c，d∈Z．∴ac+bd∈Z，ad+bc∈Z．
∴xy∈Z．
（3）假設(shè)-2∈M，則存在a，b∈Z，使得a²-b²=-2，
∴（a+b）（a-b）=-2．
∵a，b∈Z，∴a+b∈Z，a-b∈Z．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{a-b=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+b=-2}\\{a-b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+b=-1}\\{a-b=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{a-b=-1}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
與a，b∈Z矛盾．
∴-2∉M．

點評 本題考查了元素與集合的關(guān)系判斷，屬于基礎(chǔ)題．