Question

3．已知線段|AB|=4，且A，B兩點分別在直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上運動，求AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 設出A，B的坐標，利用點P為AB的中點，確定坐標之間的關(guān)系，根據(jù)線段|AB|=4，建立方程，化簡，即可求點P的軌跡方程．

解答 解：設M（x，y）是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的中點，
∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，且y₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x₁，y₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x₂，∴$\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}_{1}-{x}_{2}）=2y$，
|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{2}）^{2}}$=4，
（2$\sqrt{3}$y）²+$\frac{1}{3}（2x）^{2}$=16，化簡得$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$，
∴線段AB的中點M的軌跡方程：$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$．

點評 本題考查軌跡方程，考查代入法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．