Question

11．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C₁的參數(shù)方程為 $\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ為參數(shù)），在以Ο為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的坐標(biāo)系中，曲線C₂是圓心在極軸上且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓，已知曲線C₁上的點(diǎn)M（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ=$\frac{π}{6}$，射線θ=$\frac{π}{3}$與曲線C₂交于點(diǎn)D（1，$\frac{π}{3}$）．
（1）求曲線C₁，C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)A（ρ₁，θ），Β（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）都在曲線C₁上，求$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}+{ρ}_{2}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）將M（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ=$\frac{π}{6}$代入$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$消去參數(shù)φ可得曲線C₁的直角坐標(biāo)方程；設(shè)圓C₂的方程為（x-R）²+y²=R²．可得D（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），代入可得R=1，可得C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）可得AB的直角坐標(biāo)，代入C1的方程可得θ的式子，代入$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}+{ρ}_{2}^{2}}$由三角函數(shù)公式可得．

解答 解：（1）將M（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ=$\frac{π}{6}$代入$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=acos\frac{π}{6}}\\{\frac{1}{2}=bsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=1，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$，消去參數(shù)φ可得曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
設(shè)圓C₂的半徑為R，由題意圓C₂的方程為（x-R）²+y²=R²．
由D的極坐標(biāo) （1，$\frac{π}{3}$），得D（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），代入（x-R）²+y²=R²，解得R=1，
∴曲線C₂的方程為（x-1）²+y²=1．
（2）∵A（ρ₁，θ），Β（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）都在曲線C₁上，
又點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），
點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為ρ₂cos（θ+$\frac{π}{2}$）=-ρ₂sinθ，
點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為ρ₂sin（θ+$\frac{π}{2}$）=ρ₂cosθ，
∴$\frac{{{ρ}_{1}}^{2}co{s}^{2}θ}{4}+{{ρ}_{1}}^{2}si{n}^{2}θ=1$，$\frac{{{ρ}_{2}}^{2}si{n}^{2}θ}{4}+{{ρ}_{2}}^{2}co{s}^{2}θ=1$，
∴$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}+{ρ}_{2}^{2}}$=（$\frac{co{s}^{2}θ}{4}+si{n}^{2}θ$）+（$\frac{si{n}^{2}θ}{4}+co{s}^{2}θ$）=$\frac{5}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程，化為普通方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．