Question

20．在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C（$\sqrt{2}，\frac{π}{4}$），半徑r=1．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）若α∈[0，$\frac{π}{3}$]，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（2，2），直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，求$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{|{PA}|+|{PB}|}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由圓C的圓心C（$\sqrt{2}，\frac{π}{4}$）化為C（1，1），半徑r=1，可得方程：（x-1）²+（y-1）²=1，再利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為極坐標(biāo)方程；
（2）把直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓的方程可得：t²+（2cosα+2sinα）t+1=0，利用$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{|{PA}|+|{PB}|}}$=$\frac{{t}_{1}{t}_{2}}{-（{t}_{1}+{t}_{2}）}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，及其三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由圓C的圓心C（$\sqrt{2}，\frac{π}{4}$）化為C（1，1），半徑r=1，可得方程：（x-1）²+（y-1）²=1，化為x²+y²-2x-2y+1=0．
∴ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ+1=0．
（2）把直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓的方程可得：t²+（2cosα+2sinα）t+1=0，
∴t₁+t₂=-（2cosα+2sinα），t₁t₂=1．
∵點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（2，2）在圓的外部．
∴$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{|{PA}|+|{PB}|}}$=$\frac{{t}_{1}{t}_{2}}{-（{t}_{1}+{t}_{2}）}$=$\frac{1}{2cosα+2sinα}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，
∵α∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴$sin（α+\frac{π}{4}）$∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$．
∴當(dāng)α=0時，$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{|{PA}|+|{PB}|}}$的最小值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了把圓的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．