Question

已知點A，B，C是拋物線L：y²=2px（p＞0）上的不同的三點，O為坐標(biāo)原點，直線OA∥BC，且拋物線L的準線方程為x=-1．
（1）求拋物線L的方程；
（2）若△ABC的重心在直線x=-1上，求△ABC的面積取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）利用拋物線L的準線方程，能求出拋物線L的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線OA，BC的方程分別為y=kx與y=kx+b，分別與拋物線聯(lián)立，求出A點坐標(biāo)，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），再利用韋達定理和導(dǎo)數(shù)知識能求了△ABC的面積的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵拋物線L：y²=2px（p＞0）的準線方程為x=-1，
∴

p

2

=1，解得p=2，
∴拋物線L的方程為y²=4x．
（Ⅱ）設(shè)直線OA，BC的方程分別為
y=kx與y=kx+b，（k≠0），
由

y=kx y2=4x

，消去y，得k²x²=4x，
解得A點坐標(biāo)為A（

4

k2

，

4

k

），
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由

y=kx+b y2=4x

消去x，得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
△=（2kb-4）²-4k²b²=16-16kb＞0，即kb＜1，
又由韋達定理得x1+x2=

4-2kb

k2

，
∴△ABC的重心的橫坐標(biāo)為

4 k2 + 4-2kb k2

3

=

8-2kb

3k2

=2，
化簡得b=

4-3k2

k

，代入kb＜1，得k²＞1．
又△ABC的面積S=

1

2

×(

k2+1

•

16-16kb

k2

)×

|b|

1+k2

=

|2b| 1-kb

k2

=

2|4-3k2|

k2|k|

3k2-3

=2|

4

k2

-3|

3- 3 k2

，
令t=

1

k2

，則S=2

3

×

(4t-3)2(1-t)

，t∈（0，1）
構(gòu)造函數(shù)f（t）=（4t-3）²（1-t），t∈（0，1），
則f′（t）=（4t-3）（11-12t），
∴函數(shù)f（t）在（0，

3

4

）和（

11

12

，1）上單調(diào)遞減，在（

3

4

，

11

12

）上單調(diào)增，
且f（0）=9，f（

11

12

）=

1

27

，
∴△ABC的面積的取值范圍是（0，6

3

）．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查三角形面積的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．