Question

11．40名高三學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如下：
（Ⅰ）求頻率分布直方圖中x的值；
（Ⅱ）分別求出成績落在（130，140]與（140，150]中的學(xué)生人數(shù)；
（Ⅲ）從成績落在（130，150]中的學(xué)生中任選2人，記成績落在（140，150]中的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1，能求出x．
（Ⅱ）先求出成績落在（130，140]與（140，150]中的頻率，由此能求出成績落在（130，140]與（140，150]中的學(xué)生人數(shù)．
（Ⅲ）成績落在（130，150]中的學(xué)生人數(shù)為6人，從中任選2人，成績落在（140，150]中的人數(shù)X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，得：
（0.005×2+2x+0.015+0.020+0.035）×10=1，
解得x=0.01．
（Ⅱ）成績落在（130，140]與（140，150]中的頻率分別為：
0.01×10=0.1和0.005×10=0.05，
∴成績落在（130，140]與（140，150]中的學(xué)生人數(shù)分別為：
0.1×40=4人和0.05×40=2人．
（Ⅲ）成績落在（130，150]中的學(xué)生人數(shù)為：4+2=6人，
從中任選2人，成績落在（140，150]中的人數(shù)X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

EX=$0×\frac{2}{5}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．