Question

20．設(shè)過橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$）的左焦點(diǎn)與上頂點(diǎn)的直線為l，若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為$\frac{c}{2}$，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)F為（-c，0），上頂點(diǎn)A為（0，b），可得直線l的方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)F為（-c，0），上頂點(diǎn)A為（0，b），
即有直線l的方程為bx-cy+bc=0，
坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為$\frac{c}{2}$，
即有$\frac{|bc|}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{c}{2}$，
由a²-b²=c²，
可得a=2b，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．