Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求的極值點(diǎn)；

（2）若曲線 上總存在不同兩點(diǎn)，使得曲線在兩點(diǎn)處的切線互相平行，證明：

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并進(jìn)行通分和因式分解的化簡，并求得導(dǎo)數(shù)為0的值，和，討論兩根的大小關(guān)系，并得到極值點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性，判斷是極大值還是極小值，（2）由題意可知，并化簡解得，根據(jù)基本不等式，化簡為，最后根據(jù)，證得不等式.

試題解析：（1）的定義域，

，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

∴是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

∴是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)；

（2）由題知：，即：，

∴，

由于，且，

∴，則有：，

∴，

∴，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，

∴，即證．