Question

15．已知A（6，0），B（0，6），C為橢圓$\frac{{x}^{2}}{20}$$+\frac{{y}^{2}}{5}$=1上一點(diǎn)，求△ABC面積最小值．

Answer 1

分析 由已知條件，設(shè)C（2$\sqrt{5}$cosα，$\sqrt{5}$sinα），由此能求出點(diǎn)C（2$\sqrt{5}$cosα，$\sqrt{5}$sinα）到直線AB：x+y-6=0的距離的最小值，由兩點(diǎn)的距離公式可得|AB|，由此能求出△ABC面積的最小值．

解答 解：由點(diǎn)C是橢圓$\frac{{x}^{2}}{20}$$+\frac{{y}^{2}}{5}$=1上任一點(diǎn)，
可設(shè)C（2$\sqrt{5}$cosα，$\sqrt{5}$sinα），
點(diǎn)C（2$\sqrt{5}$cosα，$\sqrt{5}$sinα）到直線AB：x+y-6=0的距離：
d=$\frac{|2\sqrt{5}cosα+\sqrt{5}sinα-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（α+θ）-6|}{\sqrt{2}}$（其中sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$）
∴d_min=$\frac{|5-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又|AB|=$\sqrt{36+36}$=6$\sqrt{2}$，
∴△ABC面積的最小值為$\frac{1}{2}$•6$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的最小值的求法，考查橢圓、直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式的知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要注意橢圓的參數(shù)方程的合理運(yùn)用．