Question

7．已知函數(shù)f（x）=a1nx，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）曲線f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若f（x）≥1-$\frac{1}{x}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的值或取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出曲線的切線方程，根據(jù)三角形面積公式求出a的值即可；
（2）問題等價(jià)于alnx+$\frac{1}{x}$-1≥0在（0，+∞）恒成立，令g（x）=alnx+$\frac{1}{x}$-1，而g（1）=0，只需x=1是函數(shù)的極值點(diǎn)即可求出a的值．

解答 解：（1）f（1）=aln1=0，f′（1）=a，
∴過A（1，0），斜率為a的直線方程是：
y=a（x-1），與x軸的交點(diǎn)是（1，0），與y軸的交點(diǎn)是（0，-a），
∴切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為：$\frac{1}{2}$|-a|×1=2，
解得：a=±4；
（2）若f（x）≥1-$\frac{1}{x}$恒成立，
等價(jià)于alnx+$\frac{1}{x}$-1≥0在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=alnx+$\frac{1}{x}$-1，而g（1）=0，
∴只需g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增即可，
g′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，∴g′（1）=a-1=0，解得：a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求曲線的切線方程問題，考查函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．