Question

5．已函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-3|．
（1）作出函數(shù)y=f（x）的圖象；
（2）若對任意x∈R，f（x）≥a²-3a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)將函數(shù)表示為分段函數(shù)形式，即可作出函數(shù)y=f（x）的圖象；
（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）①當(dāng)x≤-1時，f（x）=-x-1-x+3=-2x+2；
②當(dāng)-1＜x＜3時，f（x）=x+1+3-x=4；
③當(dāng)x≥3時，f（x）=x+1+x-3=2x-2．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2x+2，x≤-1\\ 4，-1＜x＜3，2x-2，x≥3\end{array}$
∴y=f（x）的圖象如圖所示．

（2）由（1）知f（x）的最小值為4，
則對任意x∈R，f（x）≥a²-3a恒成立等價為a²-3a≤4恒成立，
即a²-3a-4≤0，
即（a-4）（a+1）≤0，
解得-1≤a≤4．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1，4]．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)恒成立問題，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)將絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)形式是解決本題的關(guān)鍵．