Question

14．已知滿足ln（a+b）=lna+lnb，ln（a+b+c）=lna+lnb+lnc，則c的取值范圍是（1，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 由ln（a+b）=lna+lnb得a+b=ab，使用基本不等式得出ab的范圍，由ln（a+b+c）=lna+lnb+lnc=ln（abc）得a+b+c=abc，即ab+c=abc，于是c=$\frac{ab}{ab-1}$=1+$\frac{1}{ab-1}$，根據(jù)ab的范圍求出c的范圍．

解答 解：∵ln（a+b）=lna+lnb=ln（ab），∴a+b=ab≥2$\sqrt{ab}$，∴ab≥4，
∵ln（a+b+c）=lna+lnb+lnc=ln（abc），∴a+b+c=abc，即ab+c=abc，∴c=$\frac{ab}{ab-1}$=1+$\frac{1}{ab-1}$，
∵ab≥4，∴1＜1+$\frac{1}{ab-1}$≤$\frac{4}{3}$，即1＜c≤$\frac{4}{3}$．
故答案為：（1，$\frac{4}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，基本不等式，不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．