Question

5．已知冪函數(shù)f（x）圖象過點(diǎn)（-$\frac{1}{2}$，-2），數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=1，b₁=1，且對任意n∈N₊，均有a_n+1=$\frac{{a}_{n}f（{a}_{n}）}{f（{a}_{n}）+3}$，b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）試求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：（1）由題意可知（-$\frac{1}{2}$）^a=-2，
所以a=-1，故f（x）=$\frac{1}{x}$（x≠0）．
（2）由（1）可得a_n+1=$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{n}}+3}$=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，
所以有$\frac{1}{a{\;}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+3，
故a_n=$\frac{1}{3n-2}$．
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+$_{1}^{\;}$
=3[（n-1）+（n-2）+…+2+1]-2（n-1）+1
=3•$\frac{n-1+1}{2}$（n-1）-2n+2+1=$\frac{3{n}^{2}-7n+6}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查冪函數(shù)的解析式的求解，以及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，利用數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．