Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=asinx+bcosx（a、b為常數(shù)）．
（1）若當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時(shí)，f（x）取得最大值為2，求函數(shù)f（x）的解析式及最小正周期；
（2）若a=0，b=2，g（x）=f（x+$\frac{π}{3}$），寫(xiě)出g（x）的解析式，當(dāng)x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]時(shí)按照“五點(diǎn)法”作圖步驟，在表格中完成填空，并畫(huà)出函數(shù)g（x）的圖象，寫(xiě)出一個(gè)區(qū)間D，D∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]中，使得在區(qū)間D上，g（x）≤0，且g（x）單調(diào)遞增．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的最值以及三角函數(shù)的輔助角公式建立方程組關(guān)系即可得到結(jié)論．
（2）利用五點(diǎn)法通過(guò)列表，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+θ），θ為參數(shù)，
則函數(shù)的周期T=2π．
∵當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時(shí)，f（x）取得最大值為2，
∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2，且asin$\frac{π}{3}$+bcos$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{2}b=2$，
解得a=$\sqrt{3}$，b=1，
即f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$）．
（2）若a=0，b=2，則f（x）=2cosx，
則g（x）=f（x+$\frac{π}{3}$）=2cos（x+$\frac{π}{3}$），
利用五點(diǎn)法進(jìn)行取值：

x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{7π}{6}$	$\frac{5π}{3}$
y	2	0	-2	0	2

則對(duì)應(yīng)的圖象為：
若g（x）≤0，且g（x）單調(diào)遞增，
則對(duì)應(yīng)的區(qū)間可以是[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握五點(diǎn)法作圖以及函數(shù)圖象之間的變化關(guān)系．