Question

11．已知曲線C的極坐標方程為ρ²=$\frac{36}{4co{s}^{2}θ+9si{n}^{2}θ}$；
①若以極點為原點，極軸所在的直線為x軸，求曲線C的直角坐標方程；
②若P（x，y）是曲線C上的一個動點，求3x+4y的最大值．

Answer 1

分析 ①把曲線C的極坐標方程化為化為普通方程是橢圓的標準方程；
②把曲線C的普通方程化為參數(shù)方程，求出曲線C上的點P（x，y）對應的3x+4y的最大值．

解答 解：①曲線C的極坐標方程為ρ²=$\frac{36}{4co{s}^{2}θ+9si{n}^{2}θ}$，
即4ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=36，
化為普通方程是4x²+9y²=36，
即$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
②把曲線C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1化為參數(shù)方程是
$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，θ為參數(shù)，
則曲線C上的點P（x，y）滿足：
3x+4y=9cosθ+8sinθ
=$\sqrt{145}$sin（θ+α），其中tanα=$\frac{9}{8}$，
∴3x+4y的最大值為$\sqrt{145}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程與極坐標的應用問題，也考查了橢圓的標準方程的應用問題，是基礎題目．