Question

2．某種設備購入之后從第二年開始每年都需要返廠進行硬件維修和軟件升級，已知其使用年份x₁（年）與所支出的返廠費用y₁（萬元）的數(shù)據(jù)資料算得如表結(jié)果：

x1	2	3	4	5	6
y1	2.5	4	5	6	7.5

（1）求所支出的返廠費用y對使用年份x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（2）當使用年份為9年時，試估計返廠所需要支出的費用是多少？
（在線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x$\widehat{a}$中，$\widehat$=$\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{n+1}{x}_{1}{y}_{1}-n\widehat{x}\widehat{y}}{\underset{\stackrel{n}{∑}}{n-1}{x}_{1}^{2}-n\widehat{x}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat$x，$\widehat{x}$，$\widehat{y}$為樣本平均值）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，做出變量x，y的平均數(shù)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)b，在根據(jù)樣本中心點一定在線性回歸直線上，求出a的值．
（2）根據(jù)第一問做出的a，b的值，寫出線性回歸方程，當自變量為9時，代入線性回歸方程，求出維修費用，這是一個預報值

解答 解：（1）由題意知$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=5，
b=$\frac{\sum _{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum _{i=1}^{n}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=$\frac{5+1+0+1+5}{4+1+0+1+4}$=1.2，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=5-4×1.2=0.2，
∴$\widehat{y}$=1.2x+0.2，
（2）根據(jù)第一問知線性回歸方程是$\widehat{y}$=1.2x+0.2，
當自變量x=9時，預報維修費用是$\widehat{y}$=1.2×9+0.2=11，
即當使用年份為9年時，返廠所需要支出的費用約為11萬元．

點評 本題考查線性回歸方程，考查最小二乘法，考查預報值的求法，是一個新課標中出現(xiàn)的新知識點，已經(jīng)在廣東的高考卷中出現(xiàn)過類似的題目．