Question

2．某種設(shè)備購(gòu)入之后從第二年開(kāi)始每年都需要返廠進(jìn)行硬件維修和軟件升級(jí)，已知其使用年份x₁（年）與所支出的返廠費(fèi)用y₁（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)資料算得如表結(jié)果：

x1	2	3	4	5	6
y1	2.5	4	5	6	7.5

（1）求所支出的返廠費(fèi)用y對(duì)使用年份x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（2）當(dāng)使用年份為9年時(shí)，試估計(jì)返廠所需要支出的費(fèi)用是多少？
（在線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x$\widehat{a}$中，$\widehat$=$\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{n+1}{x}_{1}{y}_{1}-n\widehat{x}\widehat{y}}{\underset{\stackrel{n}{∑}}{n-1}{x}_{1}^{2}-n\widehat{x}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat$x，$\widehat{x}$，$\widehat{y}$為樣本平均值）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，做出變量x，y的平均數(shù)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)b，在根據(jù)樣本中心點(diǎn)一定在線性回歸直線上，求出a的值．
（2）根據(jù)第一問(wèn)做出的a，b的值，寫(xiě)出線性回歸方程，當(dāng)自變量為9時(shí)，代入線性回歸方程，求出維修費(fèi)用，這是一個(gè)預(yù)報(bào)值

解答 解：（1）由題意知$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=5，
b=$\frac{\sum _{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum _{i=1}^{n}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=$\frac{5+1+0+1+5}{4+1+0+1+4}$=1.2，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=5-4×1.2=0.2，
∴$\widehat{y}$=1.2x+0.2，
（2）根據(jù)第一問(wèn)知線性回歸方程是$\widehat{y}$=1.2x+0.2，
當(dāng)自變量x=9時(shí)，預(yù)報(bào)維修費(fèi)用是$\widehat{y}$=1.2×9+0.2=11，
即當(dāng)使用年份為9年時(shí)，返廠所需要支出的費(fèi)用約為11萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程，考查最小二乘法，考查預(yù)報(bào)值的求法，是一個(gè)新課標(biāo)中出現(xiàn)的新知識(shí)點(diǎn)，已經(jīng)在廣東的高考卷中出現(xiàn)過(guò)類(lèi)似的題目．