Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{a}{x}$，F(xiàn)（x）=f（x）+g（x）．
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)F（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值是$\frac{3}{2}$，求a的值；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）圖象上任意不同的兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為C（x₀，y₀），直線AB的斜率為k，證明：k＞f′（x₀）

Answer 1

分析 （1）求出F（x）=lnx+$\frac{a}{x}$的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)大于0，即可求函數(shù)的增區(qū)間；
（2）對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，分別求出各種情況下的函數(shù)在[1，e]上的最小值令其為$\frac{3}{2}$，解方程求得a的值；
（3）對(duì)于當(dāng)a=0時(shí)，先把f（x）=lnx具體出來(lái)，然后求導(dǎo)函數(shù)，得到f′（x₀），在利用斜率公式求出過(guò)這兩點(diǎn)的斜率公式，利用構(gòu)造函數(shù)并利用構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性比較大�。�

解答 （1）解：F（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，則F′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
∵a＜0，x＞0，∴F′（x）＞0，
∴函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；
（2）解：在[1，e]上，分如下情況討論：
1．當(dāng)a＜1時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，其最小值為f（1）=a＜1，這與函數(shù)在[1，e]上的最小值是$\frac{3}{2}$相矛盾；
2．當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，e]單調(diào)遞增，其最小值為f（1）=1，同樣與最小值是$\frac{3}{2}$相矛盾；
3．當(dāng)1＜a＜e時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，a）上有f'（x）＜0，單調(diào)遞減，在（a，e]上有f'（x）＞0，單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）的最小值為f（a）=lna+1=$\frac{3}{2}$，得a=$\sqrt{e}$．
4．當(dāng)a=e時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，e）上有f'（x）＜0，單調(diào)遞減，其最小值為f（e）=225，還與最小值是$\frac{3}{2}$相矛盾；
5．當(dāng)a＞e時(shí)，顯然函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，其最小值為f（e）=1+$\frac{a}{e}$＞2，仍與最小值是$\frac{3}{2}$相矛盾．
綜上所述，a的值為$\sqrt{e}$．
（3）證明：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$
∴f'（x₀）=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$
又k=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
不妨設(shè)x₂＞x₁，要比較k與f'（x₀）的大小，
即比較$\frac{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$與$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$的大小，
又∵x₂＞x₁，
∴即比較ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$與$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$的大小．
令h（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$（x≥1），則h′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$≥0
∴h（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
又$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
∴h（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞h（1）=0，
∴l(xiāng)n$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$，即k＞f'（x₀）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)的增區(qū)間，還考查了構(gòu)造函數(shù)并利用構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立的問(wèn)題，重點(diǎn)考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化的思想及構(gòu)造的函數(shù)與思想．