Question

1．已知三棱錐P-ABC的所有棱長都相等，現(xiàn)沿PA，PB，PC三條側(cè)棱剪開，將其表面展開成一個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為2$\sqrt{6}$，則三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的表面積為3π．

Answer 1

分析 根據(jù)平面圖形外接圓的半徑求出三棱錐的棱長，再根據(jù)棱長求出高，設(shè)內(nèi)切球的球心為O'，半徑為r，連接三棱錐的四個頂點(diǎn)得到四個小三棱錐的體積相等，然后根據(jù)等積法計(jì)算得到半徑r，再由球的表面積公式計(jì)算即可得到．

解答 解：根據(jù)題意幾何體為正三棱錐，如圖，設(shè)棱長為a，
PD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，OD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，OP=$\sqrt{P{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a．
則OD+PD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a=2$\sqrt{6}$⇒a=3$\sqrt{2}$，
V_棱錐=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a=9，
設(shè)內(nèi)切球的球心為O'，半徑為r，
連接三棱錐的四個頂點(diǎn)得到四個小三棱錐的體積相等，
即為4×$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×18r=6$\sqrt{3}$r．
由等積法，可得，9=6$\sqrt{3}$r，
解得，r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
則內(nèi)切球的表面積為S=4πr²=3π．
故答案為：3π．

點(diǎn)評 本題主要考查球的表面積的求法，考查等積法的運(yùn)用，考查三棱錐的體積公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．