Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a₁=$\frac{1}{3}，{S_{n+1}}={S_n}+4{a_n}$+3．
（Ⅰ）證明：{a_n+1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．

Answer 1

分析 （I）S_n+1=S_n+4a_n+3，可得a_n+1=4a_n+3，變形為：a_n+1+1=4（a_n+1），利用等比數(shù)列的定義即可證明．
（II）由（I）可得：a_n+1=$\frac{4}{3}$×4^n-1，即a_n=$\frac{1}{3}×{4}^{n}$-1．再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 I）證明：∵S_n+1=S_n+4a_n+3，∴a_n+1=4a_n+3，變形為：a_n+1+1=4（a_n+1），
∴{a_n+1}是等比數(shù)列，首項為$\frac{4}{3}$，公比為4；
（II）解：由（I）可得：a_n+1=$\frac{4}{3}$×4^n-1，∴a_n=$\frac{1}{3}×{4}^{n}$-1．
∴數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=$\frac{1}{3}×\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$-n=$\frac{{4}^{n+1}-4}{9}$-n．

點評 本題考查了等比數(shù)列的定義通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．