Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}的各項都為正數(shù)，且滿足S_n=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}$（n∈N^*），求數(shù)列的通項公式a_n．

Answer 1

分析 通過S_n=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}$與S_n+1=$\frac{（{a}_{n+1}+1）^{2}}{4}$作差、整理可知a_n+1-a_n=2，進而可知數(shù)列{a_n}是首項為1、公差為2的等差數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵S_n=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{4}$（n∈N^*），
∴S_n+1=$\frac{（{a}_{n+1}+1）^{2}}{4}$（n∈N^*），
兩式相減得：4a_n+1=${{a}_{n+1}}^{2}$+2a_n+1-${{a}_{n}}^{2}$-2a_n，
整理得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=2（a_n+1+a_n），
∵數(shù)列{a_n}的各項都為正數(shù)，
∴a_n+1-a_n=2，
又∵a₁=$\frac{（{a}_{1}+1）^{2}}{4}$，即a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項為1、公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．