Question

6．已知數(shù)列{α_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=$\frac{2}{3}$a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ為實數(shù)．
 （1）對任意實數(shù)λ，證明數(shù)列{α_n}不是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，求λ的取值范圍；
（3）若a_n＜3n對一切n∈N^*成立，L求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)存在一個實數(shù)λ使{a_n}是等比數(shù)列，利用a²₂=a₁a₃，代入計算、化簡得出矛盾；
（2）通過將a_n+1=$\frac{2}{3}$a_n+n-4代入b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]計算可知b_n+1=-$\frac{2}{3}$b_n，利用數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列可知λ≠-18；
（3）通過對a_n+1=$\frac{2}{3}$a_n+n-4變形可知3[a_n+1-3（n-6）]=2[a_n-3（n-7）]，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n-3（n-7）}是首項為λ+18、公比為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列，化簡計算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：假設(shè)存在一個實數(shù)λ，使{a_n}是等比數(shù)列，
則有a²₂=a₁a₃，即（$\frac{2}{3}$λ-3）²=λ（$\frac{4}{9}$λ-4），
∴$\frac{4}{9}$λ²-4λ+9=$\frac{4}{9}$λ²-4λ，
解得：9=0，矛盾，
所以數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；
（2）解：b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]
=（-1）ⁿ⁺¹（$\frac{2}{3}$a_n-2n+14）
=$\frac{2}{3}$（-1）ⁿ⁺¹•（a_n-3n+21）
=-$\frac{2}{3}$b_n，
又∵數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
∴b₁=-（λ+18）≠0，即λ≠-18，
∴若數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，則λ≠-18；
（3）解：∵a_n+1=$\frac{2}{3}$a_n+n-4，
∴3[a_n+1-3（n-6）]=2[a_n-3（n-7）]，
又∵a₁-3（1-7）=λ+18，
∴數(shù)列{a_n-3（n-7）}是首項為λ+18，公比為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列，
∴a_n-3（n-7）=（λ+18）•$\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n-1}}$，
∵a_n＜3n對一切n∈N^*成立，
∴3（n-7）+（λ+18）•$\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n-1}}$＜3n對一切n∈N^*成立，
整理得：$\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n-1}}$＜$\frac{21}{λ+18}$，
∵$\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n-1}}$隨著n的增大而減小，
∴1＜$\frac{21}{λ+18}$，
解得：λ＜3．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．