【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),并設(shè) ,
(1)若F(x)圖像在x=0處的切線方程為x﹣y=0,求b、c的值;
(2)若函數(shù)F(x)是(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞減,則 ①當(dāng)x≥0時(shí),試判斷f(x)與(x+c)2的大小關(guān)系,并證明之;
②對(duì)滿足題設(shè)條件的任意b、c,不等式f(c)﹣Mc2≤f(b)﹣Mb2恒成立,求M的取值范圍.

【答案】
(1)解:因?yàn)? ,所以

又因?yàn)镕(x)圖像在x=0處的切線方程為x﹣y=0,

所以 ,即 ,解得 b=1,c=0


(2)解:①因?yàn)镕(x)是(﹣∞,+∞)上的單調(diào)遞減函數(shù),所以F′(x)≤0恒成立,

即﹣x2+(2﹣b)x+(b﹣c)≤0對(duì)任意的x∈R恒成立,

所以△=(2﹣b)2+4(b﹣c)≤0,所以 ,即c>b且c≥1,

令g(x)=f(x)﹣(x+c)2=(b﹣2c)x﹣c(c﹣1),由b﹣2c<0,知g(x)是減函數(shù),

故g(x)在[0,+∞)內(nèi)取得最小值g(0),又g(0)=﹣c(c﹣1)≤0,

所以x≥0時(shí),g(x)≤g(0)≤0,即f(x)≤(x+c)2

②由①知,c≥|b|≥0,當(dāng)|b|=c時(shí),b=c或b=﹣c,

因?yàn)閎2+4﹣4c≤0,即c2+4﹣4c≤0,解得c=2,b=2或b=﹣2,所以f(x)=x2±2x+2,

而f(c)﹣f(b)=c2+bc+c﹣b2﹣b2﹣c=c2+bc﹣2b2=(c+2b)(c﹣b),

所以f(c)﹣f(b)=﹣8或0,

不等式f(c)﹣Mc2≤f(b)﹣Mb2等價(jià)于f(c)﹣f(b)≤M(c2﹣b2),

變?yōu)椹?≤M0或0≤M0恒成立,M∈R,

當(dāng)|b|≠c時(shí),c>|b|,即c2﹣b2>0,所以不等式f(c)﹣Mc2≤f(b)﹣Mb2恒成立等價(jià)于 恒成立,等價(jià)于 ,

,

因?yàn)閏>|b|, ,所以 ,所以 ,所以 ,

所以 ,所以


【解析】(1)欲求b,c的值,根據(jù)所給的切線方程,只須求出切線斜率即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率進(jìn)而得切線方程,最后與所給的方程比較即得b,c的值;(2)根據(jù)函數(shù)F(x)是(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞減,得到F′(x)≤0恒成立,從而得到c>b且c≥1,①令g(x)=f(x)﹣(x+c)2=(b﹣2c)x﹣c(c﹣1),從而得到結(jié)果;②不等式f(c)﹣Mc2≤f(b)﹣Mb2恒成立等價(jià)于f(c)﹣f(b)≤M(c2﹣b2)恒成立,分離參數(shù)可得 恒成立,轉(zhuǎn)化為求 的最大值即可.
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)根據(jù)直方圖估計(jì)這個(gè)開(kāi)學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量的中位數(shù);

2)將表示為的函數(shù);

3)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)不少于元的概率.

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【題目】近代統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展起源于二十世紀(jì)初,它是在概率論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的,統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的工作可以追溯到遠(yuǎn)古的“結(jié)繩記事”和《二十四史》中大量的關(guān)于我人口、錢(qián)糧、 水文、天文、地震等資料的記錄.近幾年,霧霾來(lái)襲,對(duì)某市該年11月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下:表一

日期

天氣

日期

天氣

由于此種情況某市政府為減少霧霾于次年采取了全年限行的政策.

下表是一個(gè)調(diào)査機(jī)構(gòu)對(duì)比以上兩年11月份(該年不限行 天、次年限行天共 天)的調(diào)查結(jié)果:

表二

不限行

限行

總計(jì)

沒(méi)有霧霾

有霧霾

總計(jì)

(1)請(qǐng)由表一數(shù)據(jù)求 ,并求在該年11月份任取一天,估計(jì)該市是晴天的概率;

(2)請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)原理計(jì)算若沒(méi)有 的把握認(rèn)為霧霾與限行有關(guān)系,則限行時(shí)有多少天沒(méi)有霧霾?

(由于不能使用計(jì)算器,所以表中數(shù)據(jù)使用時(shí)四舍五入取整數(shù))

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(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值與最小值;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤kx對(duì)任意x∈[0,+∞)都成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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X

﹣1

0

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3

P

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a2

0.3


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(2)求E(X);
(3)若Y=2X﹣3,求E(Y).

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