Question

1．如果橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的弦被點（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是x+2y-8=0．

Answer 1

分析 若設弦的端點為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），代入橢圓方程得9x₁²+36y₁²=36×9①，9x₂²+36y₂²=36×9②；作差①-②，并由中點坐標公式，可得直線斜率k，從而求出弦所在的直線方程．

解答 解：設弦的端點為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，得
9x₁²+36y₁²=36×9①，9x₂²+36y₂²=36×9②；
①-②，得9（x₁+x₂）（x₁-x₂）+36（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0；
由中點坐標$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=4，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2，代入上式，得
36（x₁-x₂）+72（y₁-y₂）=0，
∴直線斜率為k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$，
所求弦的直線方程為：y-2=-$\frac{1}{2}$（x-4），
即x+2y-8=0．
故答案為：x+2y-8=0．

點評 本題考查了圓錐曲線的中點坐標公式，通過作差的方法，求得直線斜率k的應用模型，屬于中檔題．