Question

6．2022年第19屆亞運會將在中國杭州舉行，為使我國運動員能奪得首項金牌，組委會將我國運動員的某強項設(shè)置為產(chǎn)生金牌的第一個項目．已知我國參加該項目有甲、乙、丙3名運動員，他們能獲得獎牌的概率依次為$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{3}{5}$，能獲得金牌的概率依次為$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求我國運動員能獲得首項金牌的概率；
（Ⅱ）求我國運動員獲得的獎牌數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）我國運動員能獲得首項金牌的對立事件是甲、乙、丙三人都沒有獲得金牌，由此利用對立事件概率計算公式能求出我國運動員能獲得首項金牌的概率．
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出我國運動員獲得的獎牌數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）我國運動員能獲得首項金牌的對立事件是甲、乙、丙三人都沒有獲得金牌，
∴我國運動員能獲得首項金牌的概率：
p=1-（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{3}$）=$\frac{7}{9}$．
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=（1-$\frac{4}{5}$）（1-$\frac{3}{5}$）²=$\frac{4}{125}$，
P（X=1）=$\frac{4}{5}×（1-\frac{3}{5}）^{2}+$${C}_{2}^{1}×\frac{3}{5}×（1-\frac{3}{5}）^{\;}×（1-\frac{4}{5}）$=$\frac{28}{125}$，
P（X=2）=${C}_{2}^{1}（\frac{3}{5}）（1-\frac{3}{5}）×\frac{4}{5}$+（1-$\frac{4}{5}$）×$（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{57}{125}$，
P（X=3）=$\frac{4}{5}×（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{36}{125}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{125}$	$\frac{28}{125}$	$\frac{57}{125}$	$\frac{36}{125}$

E（X）=$0×\frac{4}{125}+1×\frac{28}{125}+2×\frac{57}{125}+3×\frac{36}{125}$=2．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．